Singular Values

释义（Definition）

奇异值：在线性代数中，给定矩阵 \(A\) 的一组非负实数，通常记为 \(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge 0\)。它们可由奇异值分解（SVD）得到：\(A = U\Sigma V^\top\)，其中对角矩阵 \(\Sigma\) 的对角元素就是奇异值。奇异值常用来衡量矩阵对向量的“拉伸/压缩”程度，并广泛用于降维、去噪、矩阵近似等。

发音（Pronunciation, IPA）

/ˈsɪŋɡjələr ˈvæljuːz/

词源（Etymology）

singular value(s) 由 singular（“奇异的/特殊的”）和 value（“数值”）组成。“奇异”在数学里常与“奇异矩阵/奇异性”（如不可逆、退化等特征）相关；在 SVD 语境中，“奇异值”是与矩阵本质结构密切相关的一组关键数值，因此得名。

例句（Examples）

The singular values are all nonnegative.
奇异值都是非负的。

By keeping only the largest singular values, we can approximate the matrix while reducing noise.
只保留最大的几个奇异值，我们就能在降低噪声的同时对矩阵做近似。

相关词（Related Words）

• Singular Value Decomposition
• Eigenvalue
• Eigenvector
• Matrix
• Rank
• Norm
• Spectral Norm
• Condition Number
• Low-Rank Approximation
• Principal Component Analysis

文学与名著用例（Literary Works）

• Matrix Computations（Gene H. Golub, Charles F. Van Loan）——系统讨论奇异值与 SVD 的数值计算与应用。
• Numerical Linear Algebra（Lloyd N. Trefethen, David Bau III）——用奇异值解释矩阵范数、条件数与稳定性。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）——以直观方式介绍奇异值分解与几何意义。
• The Elements of Statistical Learning（Hastie, Tibshirani, Friedman）——在统计学习与降维背景下提到奇异值/SVD。